Bởi n là ước của n!, giá trị S(n) tối đa bằng n. Số n lớn hơn 4 là số nguyên tố khi và chỉ khi S(n) = n.[6] Nghĩa là các số n sao cho giá trị S(n) lớn nhất có thể so với n là các số nguyên tố. Ngược lại, các số n sao cho giá trị S(n) nhỏ nhất có thể là các số giai thừa : S(k!) = k, với mọi k ≥ 1.

S(n) là bậc nhỏ nhất có thể của một đa thức monic với hệ số nguyên, trong đó các giá trị của đa thức đều chia hết cho n.[1]Xét ví dụ sau, Vì S(6) = 3 nên có một đa thức bậc ba mà các giá trị của nó đều chia hết cho 6, ví dụ như đa thức sau:

x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x , {\displaystyle x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x,}

Là một trong những bài toán khó của American Mathematical Monthly, được đặt vào trong 1991 và được giải vào 1994, Paul Erdős chỉ ra rằng các giá trị của S(n) trùng với ước nguyên tố lớn nhất của n với "hầu hết" tất cả các giá trị n (nghĩa là mật độ tiệm cận của tập các ngoại lệ bằng không).[7]